주어진 함수는 다음과 같습니다:

\[
f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s^2 + 3s + 2}{s^2 + 2s + 5} \right]
\]

먼저, 분모 \(s^2 + 2s + 5\)를 해석합니다. 이는 \( (s + 1)^2 + 2^2 \) 형태로 변형할 수 있습니다. 즉, \( (s + 1)^2 + 4 \)입니다.

이제 분자를 분해하여 부분 분수로 나누어 계산합니다:

\[
s^2 + 3s + 2 = (s + 1)^2 + 2s + 1
\]

따라서, 우리는 다음과 같은 부분 분수로 나눌 수 있습니다:

\[
\frac{s^2 + 3s + 2}{s^2 + 2s + 5} = \frac{(s + 1)^2 + 2s + 1}{(s + 1)^2 + 4}
\]

이를 \((s + 1)\)과 상수 부분으로 나누고, 역변환을 구합니다:

1. \(\frac{(s + 1)}{(s + 1)^2 + 4}\)은 \(e^{-t} \cos 2t\)의 라플라스 변환입니다.
2. \(\frac{1}{(s + 1)^2 + 4}\)은 \(e^{-t} \sin 2t\)의 라플라스 변환입니다.

따라서 전체 라플라스 역변환은 다음과 같습니다:

\[
\delta(t) + e^{-t} (\cos 2t - 2 \sin 2t)
\]

이는 보기 3과 일치합니다.