루트 궤적의 분리점은 개루프 전달함수의 특성방정식에서 구할 수 있습니다. 주어진 전달함수를 보면, \(G(s)H(s) = \frac{K}{s(s+3)(s+8)}\)입니다.

특성방정식은 \(1 + G(s)H(s) = 0\)이므로, \(1 + \frac{K}{s(s+3)(s+8)} = 0\)이 됩니다. 이를 정리하면 다음과 같습니다.

\[ s(s+3)(s+8) + K = 0 \]

루트 궤적의 분리점은 실수축에서의 극점과 영점 사이에서 발생하며, 이 점에서 궤적이 실제 축을 이탈합니다. 이를 찾기 위해 극점의 위치를 기반으로 특성방정식의 실수축에서의 기울기를 계산합니다.

극점은 \(s=0, s=-3, s=-8\)입니다. 이 사이에서 분리점이 발생할 수 있으며, 분리점은 실수축에서의 궤적의 기울기 변화를 통해 찾을 수 있습니다.

분리점의 위치는 다음 식을 통해 계산됩니다.

\[
f(s) = \sum \frac{1}{s-p_i} - \sum \frac{1}{s-z_i} = 0
\]

여기서 \(p_i\)는 극점, \(z_i\)는 영점입니다. 영점은 없으므로 두 번째 항은 0입니다. 따라서,

\[
\frac{1}{s} + \frac{1}{s+3} + \frac{1}{s+8} = 0
\]

이를 풀면,

\[
\frac{(s+3)(s+8) + s(s+8) + s(s+3)}{s(s+3)(s+8)} = 0
\]

분자를 풀면,

\[
(s+3)(s+8) + s^2 + 8s + s^2 + 3s = 0
\]

\[
s^2 + 11s + 24 + 2s^2 + 11s = 0
\]

\[
3s^2 + 22s + 24 = 0
\]

이차방정식의 근을 구하면,

\[
s = \frac{-22 \pm \sqrt{22^2 - 4 \cdot 3 \cdot 24}}{2 \cdot 3}
\]

\[
s = \frac{-22 \pm \sqrt{484 - 288}}{6}
\]

\[
s = \frac{-22 \pm \sqrt{196}}{6}
\]

\[
s = \frac{-22 \pm 14}{6}
\]

\[
s = \frac{-8}{6}, \frac{-36}{6}
\]

\[
s = -1.33, -6
\]

따라서, 실수축에서의 분리점은 \(-1.33\)입니다. 이는 보기 4와 일치합니다.