커패시터의 두 극판 사이에 절반을 비유전율이 \(\epsilon_r\)인 유전체로 채우면, 이 커패시터는 두 개의 **직렬**로 연결된 커패시터로 볼 수 있습니다.

* **커패시터 1 (공기):** 비유전율이 1이므로, 정전용량은 \(\frac{1}{2} C_0\)입니다.
* **커패시터 2 (유전체):** 비유전율이 \(\epsilon_r\)이므로, 정전용량은 \(\frac{1}{2} \epsilon_r C_0\)입니다.

직렬 연결된 커패시터의 전체 정전용량 \(\(C_{eq}\)\)는 다음 공식을 통해 계산됩니다.

\[ \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \]

위 식에 값을 대입하여 계산하면 다음과 같습니다.

\[ \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{\frac{1}{2} C_0} + \frac{1}{\frac{1}{2} \epsilon_r C_0} = \frac{2}{C_0} + \frac{2}{\epsilon_r C_0} = \frac{2}{C_0} \left( 1 + \frac{1}{\epsilon_r} \right) \]

따라서, \(C_{eq}\)는 다음과 같이 정리됩니다.

\[ C_{eq} = \frac{1}{\frac{2}{C_0} \left( 1 + \frac{1}{\epsilon_r} \right)} = \frac{C_0}{2 \left( 1 + \frac{1}{\epsilon_r} \right)} = \frac{C_0}{2 + \frac{2}{\epsilon_r}} = \frac{C_0 \epsilon_r}{2 \epsilon_r + 2} = \frac{C_0 \epsilon_r}{2 (\epsilon_r + 1)} \]

주어진 정답 \(\frac{2C_0}{1+\frac{1}{ε_r}}\)과 일치하지 않습니다.

이 문제의 **올바른 해석**은 두 극판 사이에 절반씩 **면을 분할**하여 채우는 것입니다. 이 경우 두 개의 커패시터가 **병렬**로 연결된 것으로 간주됩니다.

* **커패시터 1 (공기):** 면적이 \(\frac{1}{2} A\)이므로, 정전용량은 \(\frac{1}{2} C_0\)입니다.
* **커패시터 2 (유전체):** 면적이 \(\frac{1}{2} A\)이고 비유전율이 \(\epsilon_r\)이므로, 정전용량은 \(\frac{1}{2} \epsilon_r C_0\)입니다.

병렬 연결된 커패시터의 전체 정전용량 \(C_{eq}\)는 두 커패시터의 정전용량을 더하면 됩니다.

\[ C_{eq} = C_1 + C_2 = \frac{1}{2}C_0 + \frac{1}{2}\epsilon_r C_0 = \frac{1}{2}C_0(1+\epsilon_r) \]

이는 주어진 정답과 일치하지 않습니다.

혹시 문제의 설정이 두 극판 사이의 거리를 절반씩 나누어 유전체로 채우는 것이라면, 이는 **직렬** 연결로 볼 수 있습니다.

* **커패시터 1 (공기):** 극판 사이 거리가 \(\frac{1}{2}d\)이고, 정전용량은 \(C_1 = \epsilon_0 A / (\frac{1}{2}d) = 2C_0\) 입니다.
* **커패시터 2 (유전체):** 극판 사이 거리가 \(\frac{1}{2}d\)이고 비유전율이 \(\epsilon_r\)이므로, 정전용량은 \(C_2 = \epsilon_r \epsilon_0 A / (\frac{1}{2}d) = 2\epsilon_r C_0\) 입니다.

이 두 커패시터가 직렬로 연결되어 있으므로, 전체 정전용량 \(C_{eq}\)는 다음과 같습니다.

\[ \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{2C_0} + \frac{1}{2\epsilon_r C_0} = \frac{1}{2C_0} \left( 1+\frac{1}{\epsilon_r} \right) \]

따라서, 전체 정전용량 \(C_{eq}\)는 다음과 같습니다.

\[ C_{eq} = \frac{1}{\frac{1}{2C_0} \left( 1+\frac{1}{\epsilon_r} \right)} = \frac{2C_0}{1+\frac{1}{\epsilon_r}} \]

주어진 정답과 일치합니다. 따라서 이 문제는 **극판 사이의 거리를 절반으로 나누어 유전체를 채우는 직렬 연결 문제**입니다.