### 상태 공간 모델링
상태 공간 표현에서는 상태 변수 \( x_1, x_2, x_3 \)를 정의하여 미분방정식을 행렬 형태로 나타냅니다. 여기서는 다음과 같이 상태 변수를 설정합니다:
- \( x_1 = C(t) \) (상태 1: 위치)
- \( x_2 = \frac{d C(t)}{dt} \) (상태 2: 속도)
- \( x_3 = \frac{d^2 C(t)}{dt^2} \) (상태 3: 가속도)

미분방정식을 상태 방정식으로 변환하기 위해 각 상태 변수를 미분한 형태를 구합니다:
- \( \frac{d x_1}{dt} = \dot{x}_1 = x_2 \)
- \( \frac{d x_2}{dt} = \dot{x}_2 = x_3 \)
- \( \frac{d x_3}{dt} = \dot{x}_3 \)

원래 미분방정식 \( \frac{d^3 C(t)}{dt^3} + 5 \frac{d^2 C(t)}{dt^2} + \frac{d C(t)}{dt} + 2 C(t) = r(t) \)에서 \( \frac{d^3 C(t)}{dt^3} \)를 \( \dot{x}_3 \)로 치환하면:
\[
\dot{x}_3 = -2 x_1 - x_2 - 5 x_3 + r(t)
\]

### 상태 공간 행렬
상태 방정식 \( \dot{\mathbf{x}} = A \mathbf{x} + B u \)와 출력 방정식 \( y = C \mathbf{x} + D u \)로 표현됩니다. 여기서:
- \( \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \)
- \( u = r(t) \) (입력)
- \( y = C(t) \) (출력, \( x_1 \))

#### 행렬 \( A \) (시스템 행렬)
\[
\dot{\mathbf{x}} = \begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} r(t)
\]
따라서:
\[
A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & -5 \end{bmatrix}
\]

#### 행렬 \( B \) (입력 행렬)
\[
B = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
\]

#### 행렬 \( C \) (출력 행렬)
출력이 \( y = C(t) = x_1 \)이므로:
\[
C = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}
\]

#### 행렬 \( D \) (직접 전달 행렬)
\( D = 0 \) (직접 전달 없음)

### 선택지 비교
1. \( \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & -5 \end{bmatrix} \)
2. \( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -5 \end{bmatrix} \)
3. \( \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -5 \end{bmatrix} \)
4. \( \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 5 \end{bmatrix} \) (3x3 행렬이 아님)

계산 결과 \( A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & -5 \end{bmatrix} \)와 일치하는 선택지는 1번입니다.