개루프 전달함수 \(G(s)H(s) = \frac{K(s+3)}{s^2(s+1)(s+3)(s+4)}\)에서 근궤적의 점근선이 실수축과 만나는 교차점을 계산하겠습니다.

근궤적의 점근선이 실수축과 만나는 교차점은 다음 공식으로 구할 수 있습니다.

\[
\sigma_a = \frac{\sum \text{극점} - \sum \text{영점}}{n - m}
\]

여기서 \(n\)은 극점의 개수, \(m\)은 영점의 개수입니다.

주어진 전달함수에서 극점은 \(s = 0\) (중복 2개), \(s = -1\), \(s = -3\), \(s = -4\)로 총 5개입니다.

영점은 \(s = -3\)으로 1개입니다.

따라서,

\[
\sigma_a = \frac{(0 \times 2) + (-1) + (-3) + (-4) - (-3)}{5 - 1} = \frac{-1 - 3 - 4 + 3}{4} = \frac{-5}{4}
\]

따라서 근궤적의 점근선이 실수축과 만나는 교차점은 \(-\frac{5}{4}\)입니다. 

보기 4와 일치합니다.