제어 시스템의 안정성은 특성 방정식의 모든 근(뿌리)이 복소 평면의 **왼쪽 반평면**에 위치할 때 보장됩니다. 이를 판별하는 가장 간단한 방법 중 하나는 **루스-허위츠(Routh-Hurwitz) 안정도 판별법**입니다.

루스-허위츠 판별법의 두 가지 기본 조건은 다음과 같습니다.
1.  **모든 계수가 양수여야 합니다.**
2.  **모든 계수가 존재해야 합니다.** (차수가 빠진 항이 없어야 함)

이 두 가지 조건을 만족하지 않으면 불안정한 시스템으로 판정됩니다.

각 선택지를 이 조건에 따라 분석해 봅시다.

* **①번: \(s^3 + 3s^2 + 4s + 5 = 0\)**
    * 모든 계수(1, 3, 4, 5)가 **양수**입니다.
    * 모든 차수(\(s^3, s^2, s^1, s^0\))의 항이 **존재**합니다.
    * 이 조건만으로 안정하다고 단정할 수는 없지만, 불안정의 조건은 만족하지 않습니다. 이 경우 루스 배열표를 추가로 작성해야 합니다.
        \[\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 4 \\ s^2 & 3 & 5 \\ s^1 & \frac{3 \times 4 - 1 \times 5}{3} = \frac{7}{3} & 0 \\ s^0 & 5 & \end{array}\]
    * 루스 배열표의 첫 번째 열의 모든 부호가 **양수**이므로 이 시스템은 **안정**합니다.

* **②번: \(s^4 + 3s^3 - s^2 + s + 10 = 0\)**
    * \(s^2\) 항의 계수가 **음수(-1)**이므로, 이 시스템은 **불안정**합니다.

* **③번: \(s^5 + s^3 + 2s^2 + 4s + 3 = 0\)**
    * \(s^4\) 항의 계수가 **0**이므로, 이 시스템은 **불안정**합니다.

* **④번: \(s^4 - 2s^3 - 3s^2 + 4s + 5 = 0\)**
    * \(s^3\) 항과 \(s^2\) 항의 계수가 **음수**이므로, 이 시스템은 **불안정**합니다.

따라서, 주어진 특성 방정식 중 안정할 가능성이 있는 유일한 시스템은 **1번**입니다.