전기장과 자기장의 관계는 고유 임피던스를 통해 알 수 있습니다.

1.  **고유 임피던스(\(\eta\)) 계산**
    * 고유 임피던스는 매질의 유전율(\(\epsilon\))과 투자율(\(\mu\))에 따라 결정됩니다.
    * \(\eta = \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}\)
    * 문제에서 주어진 값은 \(\mu = \mu_0\)와 \(\epsilon = 2\epsilon_0\)입니다.
    * \(\eta = \sqrt{\frac{\mu_0}{2\epsilon_0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}}\)
    * 자유공간의 고유 임피던스 \(\sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} \approx 120\pi\)이므로,
    * \(\eta = \frac{1}{\sqrt{2}} \times 120\pi = 60\sqrt{2}\pi \text{ } \Omega\)

2.  **자기장의 크기 계산**
    * 평면파에서 전기장(\(E\))과 자기장(\(H\))의 크기 관계는 \(\frac{E}{H} = \eta\) 입니다.
    * 주어진 전기장의 크기는 \(|\vec{E}| = 120\pi\)입니다.
    * \(|\vec{H}| = \frac{|\vec{E}|}{\eta} = \frac{120\pi}{60\sqrt{2}\pi} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\)

3.  **자기장의 방향 결정**
    * 전자기파의 진행 방향은 전기장과 자기장의 벡터곱(\(\vec{E} \times \vec{H}\)) 방향과 같습니다.
    * 진행 방향은 위상식 \( (10^9t - \beta z) \)에서 \(+z\) 방향입니다.
    * 전기장의 방향은 \(\hat{y}\)입니다.
    * \(\vec{E} \times \vec{H} = \vec{k}\) (진행 방향)
    * \(\hat{y} \times \vec{H} = \hat{z}\)
    * 벡터곱의 오른손 법칙에 따라, 자기장 \(\vec{H}\)의 방향은 \(-\hat{x}\)가 되어야 합니다. (\(\hat{y} \times (-\hat{x}) = \hat{z}\))

4.  **최종 자기장 표현**
    * 크기는 \(\sqrt{2}\)이고, 방향은 \(-\hat{x}\)이며, 위상 정보는 전기장과 같으므로,
    * \(\vec{H} = \sqrt{2}\cos(10^9t - \beta z)(-\hat{x}) = -\sqrt{2}\cos(10^9t - \beta z)\hat{x}\)