진공 내 전위함수가 \( V = x^2 + y^2 \)로 주어졌을 때, 이 전위함수로부터 전기장을 계산할 수 있습니다. 전기장은 전위의 기울기로 주어지며, \(\vec{E} = -\nabla V\)입니다. 따라서 \(\vec{E} = -\left( \frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y}, \frac{\partial V}{\partial z} \right) = (-2x, -2y, 0)\)입니다.

정전에너지는 다음과 같이 전기장을 이용하여 계산할 수 있습니다. 정전에너지 \( U \)는 유전체의 부피에 대해 전기장의 제곱에 비례하며, 수식으로는 다음과 같습니다: 

\[ U = \frac{\varepsilon_0}{2} \int \int \int (E_x^2 + E_y^2 + E_z^2) \, dx \, dy \, dz \]

여기서 \(\varepsilon_0\)는 진공의 유전율입니다. 주어진 범위 \(0 \leq x \leq 1\), \(0 \leq y \leq 1\), \(0 \leq z \leq 1\)에 대해 계산하면:

\[ E_x^2 + E_y^2 + E_z^2 = (2x)^2 + (2y)^2 + 0^2 = 4x^2 + 4y^2 \]

정전에너지는 다음과 같이 계산됩니다:

\[ U = \frac{\varepsilon_0}{2} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (4x^2 + 4y^2) \, dx \, dy \, dz \]

이는 \( z \)에 대해 적분하면 단순히 \( z \)의 길이 \( 1 \)이 되므로:

\[ U = \frac{\varepsilon_0}{2} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (4x^2 + 4y^2) \, dx \, dy \]

\[ = 2\varepsilon_0 \left( \int_{0}^{1} x^2 \, dx \int_{0}^{1} \, dy + \int_{0}^{1} y^2 \, dy \int_{0}^{1} \, dx \right) \]

\[ = 2\varepsilon_0 \left( \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} \cdot 1 + \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{1} \cdot 1 \right) \]

\[ = 2\varepsilon_0 \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \right) \]

\[ = 2\varepsilon_0 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\varepsilon_0}{3} \]

따라서, 정전에너지는 \(\frac{4 \varepsilon_0}{3} \, \text{J}\)입니다. 주어진 보기 중에서 이 값에 해당하는 보기를 선택하면 됩니다.