주어진 회로에서 \( R = 2 \, \Omega \), \( L = 1 \, \text{H} \)이고 입력 전압이 \( v_1(t) = e^{-4t} \, \text{V} \)일 때, \( v_2(t) \)를 구하는 문제입니다.

이 회로는 RL 직렬 회로로 볼 수 있으며, 입력 전압 \( v_1(t) \)에 대해 출력 전압 \( v_2(t) \)를 구하기 위해 먼저 미분 방정식을 세워야 합니다.

RL 회로의 기본 전압-전류 관계는 다음과 같습니다:
\[
v_1(t) = L \frac{di(t)}{dt} + Ri(t)
\]

이를 주어진 값에 대입하면:
\[
e^{-4t} = 1 \cdot \frac{di(t)}{dt} + 2i(t)
\]

이것은 1차 선형 미분 방정식으로, 해는 다음과 같은 형식을 가집니다:
\[
i(t) = A e^{-2t} + B e^{-4t}
\]

입력 전압이 \( e^{-4t} \)이므로, 영구 상태에서는 \( i(t) \)가 \( e^{-4t} \)의 형태를 가져야 하며, 따라서 \( B = \frac{1}{2} \)입니다.

초기 조건 \( i(0) = 0 \)을 사용하여 \( A \)를 찾습니다:
\[
i(0) = A + \frac{1}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad A = -\frac{1}{2}
\]

따라서 전류 \( i(t) \)는 다음과 같습니다:
\[
i(t) = -\frac{1}{2} e^{-2t} + \frac{1}{2} e^{-4t}
\]

출력 전압 \( v_2(t) \)는 저항에 의한 전압 강하이므로:
\[
v_2(t) = Ri(t) = 2 \left( -\frac{1}{2} e^{-2t} + \frac{1}{2} e^{-4t} \right)
\]
\[
v_2(t) = -e^{-2t} + e^{-4t}
\]

따라서, 주어진 보기 중에서 일치하는 것은 보기 1: \( e^{-2t} - e^{-4t} \)입니다.