주어진 파형은 \( f(t) \)가 삼각형 모양으로 0에서 2까지 정의된 함수입니다. 이 함수는 두 개의 구간으로 나눌 수 있습니다.

1. \( 0 \leq t < 1 \) 구간에서 \( f(t) = t \)
2. \( 1 \leq t \leq 2 \) 구간에서 \( f(t) = 2 - t \)

이 함수의 라플라스 변환을 구하기 위해 각 구간에 대해 라플라스 변환을 계산합니다.

첫 번째 구간 \( 0 \leq t < 1 \)에서:
\[ \mathcal{L}\{t\} = \frac{1}{s^2} \]

두 번째 구간 \( 1 \leq t \leq 2 \)에서:
\[ \mathcal{L}\{2 - t\} = \frac{2}{s} - \frac{1}{s^2} \]

그러나 이 구간은 \( t = 1 \)부터 시작하므로, shift theorem을 사용하여 구간 변환을 반영합니다:
\[ \mathcal{L}\{(2 - t)u(t-1)\} = e^{-s}\left(\frac{2}{s} - \frac{1}{s^2}\right) \]

이제 전체 함수의 라플라스 변환은 두 구간의 합으로 주어집니다:
\[ \mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{1}{s^2} - e^{-s} \left(\frac{2}{s} - \frac{1}{s^2}\right) \]

이를 정리하면:
\[ \mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{1}{s^2} - \frac{2e^{-s}}{s} + \frac{e^{-s}}{s^2} \]

결과적으로:
\[ \mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{1}{s^2} ( 1 - 2e^{-s} + e^{-2s} ) \]

따라서 주어진 보기 중 정답은 보기 4: \(\frac{1}{s^2}(1-2e^{-s}+e^{-2s})\)입니다.