주어진 개루프 전달함수 \(G(s)H(s)\)는 다음과 같습니다.
\[G(s)H(s) = \frac{K}{s(s+3)(s+4)}\]

근궤적(Root Locus)이 허수축(jω)과 교차할 때의 K 값을 찾기 위해 루스-허위츠(Routh-Hurwitz) 안정도 판별법을 사용합니다.

#### 1. 특성방정식 구하기
폐루프 전달함수의 분모가 0이 되는 특성방정식을 먼저 구합니다.
\(1 + G(s)H(s) = 0\)
\(1 + \frac{K}{s(s+3)(s+4)} = 0\)
\(s(s+3)(s+4) + K = 0\)
\(s(s^2 + 7s + 12) + K = 0\)
\(s^3 + 7s^2 + 12s + K = 0\)

#### 2. 루스 배열표 작성
특성방정식 \(s^3 + 7s^2 + 12s + K = 0\)에 대한 루스 배열표를 작성합니다.
\[\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 12 \\ s^2 & 7 & K \\ s^1 & \frac{7 \times 12 - 1 \times K}{7} & 0 \\ s^0 & K & \end{array}\]

#### 3. 허수축 교차점 조건
시스템이 허수축과 교차하는 것은 루스 배열표의 첫 번째 열의 모든 부호가 양수이면서, \(s^1\) 항이 0이 될 때 발생합니다.
\(s^1\) 행의 값이 0이 되는 K 값을 구합니다.
\(\frac{84 - K}{7} = 0\)
\(84 - K = 0\)
\(K = 84\)

따라서, 근궤적이 허수축과 교차할 때의 K 값은 **84**입니다.