폐루프 전달함수의 안정성을 분석하기 위해 개루프 전달함수 \( G(s)H(s) \)를 구합니다. 

주어진 시스템의 개루프 전달함수는 다음과 같습니다:
\[
G(s) = \frac{2K}{s(s+1)(s+2)}
\]

단위 피드백 시스템이므로 \( H(s) = 1 \)입니다. 따라서, 개루프 전달함수는:
\[
G(s)H(s) = \frac{2K}{s(s+1)(s+2)}
\]

폐루프 시스템의 특성 방정식은:
\[
1 + G(s)H(s) = 0
\]

이를 전개하면:
\[
1 + \frac{2K}{s(s+1)(s+2)} = 0
\]
\[
s(s+1)(s+2) + 2K = 0
\]
\[
s^3 + 3s^2 + 2s + 2K = 0
\]

루스-후르비츠 기준을 사용하여 안정성을 분석합니다. 특성 방정식의 계수는:
- \( a_0 = 1 \)
- \( a_1 = 3 \)
- \( a_2 = 2 \)
- \( a_3 = 2K \)

루스 배열을 작성하면:
\[
\begin{array}{c|cc}
s^3 & 1 & 2 \\
s^2 & 3 & 2K \\
s^1 & \frac{6 - 2K}{3} & 0 \\
s^0 & 2K & 0 \\
\end{array}
\]

시스템이 안정하기 위해서는 모든 첫 열의 요소가 양수여야 합니다:
1. \( 3 > 0 \) (항상 성립)
2. \( \frac{6 - 2K}{3} > 0 \)에서 \( 6 - 2K > 0 \)이므로 \( K < 3 \)
3. \( 2K > 0 \)에서 \( K > 0 \)

결론적으로, 안정한 시스템이 되기 위한 \( K \)의 범위는 \( 0 < K < 3 \)입니다. 따라서, 보기 1이 올바른 선택입니다.