주어진 문제는 변위전류밀도를 구하는 문제입니다. 변위전류밀도 \( J_d \)는 시간에 따라 변화하는 전기장에 의해 생성되며, 다음과 같은 식으로 표현됩니다:

\[ J_d = \varepsilon \frac{\partial E}{\partial t} \]

여기서 \(\varepsilon\)는 유전체의 유전율, \(E\)는 전기장입니다. 전기장은 \( V/d \)로 표현되며, 시간에 따라 변화하는 전압 \( v(t) = V_m \sin \omega t \)를 고려하면, 전기장 \( E(t) = \frac{V_m \sin \omega t}{d} \)가 됩니다. 따라서 전기장의 시간에 대한 변화율은 다음과 같습니다:

\[ \frac{\partial E}{\partial t} = \frac{1}{d} \frac{\partial}{\partial t}(V_m \sin \omega t) \]

위 식의 시간 미분을 계산하면:

\[ \frac{\partial}{\partial t}(V_m \sin \omega t) = V_m \omega \cos \omega t \]

따라서 변위전류밀도는 다음과 같이 계산됩니다:

\[ J_d = \varepsilon \frac{V_m \omega \cos \omega t}{d} \]

보기 1이 이 결과와 일치합니다. 따라서 선택한 보기 1이 정답입니다.