주어진 제어 시스템의 전달함수는 다음과 같습니다:

\[
G(s) = \frac{k}{s(s+1)^2}
\]

이 시스템의 폐루프 전달함수는 다음과 같이 표현됩니다:

\[
T(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)} = \frac{\frac{k}{s(s+1)^2}}{1 + \frac{k}{s(s+1)^2}} = \frac{k}{s(s+1)^2 + k}
\]

시스템이 안정하기 위해서는 특성방정식의 모든 근이 좌반평면에 있어야 합니다. 특성방정식은 다음과 같습니다:

\[
s(s+1)^2 + k = 0
\]

이를 전개하면:

\[
s^3 + 2s^2 + s + k = 0
\]

루스-후르비츠 안정 조건을 이용하여 이 시스템이 안정하기 위한 \(k\)의 범위를 찾을 수 있습니다. 루스 배열을 구성하면 다음과 같습니다:

\[s^3 & 1 & 1 \]
\[s^2 & 2 & k \]
\[s^1 & \frac{2k - 1}{2} & 0 \]
\[s^0 & k \]

시스템이 안정하기 위해서는 모든 계수가 양수여야 합니다:

1. \(2 > 0\) (항상 성립)
2. \(k > 0\)
3. \(\frac{2k - 1}{2} > 0 \rightarrow k > \frac{1}{2}\)

따라서, 시스템이 안정하기 위한 \(k\)의 범위는 \(0 < k < 2\)입니다.