1.  **유효전력(P) 계산**
    * 유효전력은 각 고조파 성분의 전압과 전류의 실효값의 곱에 위상차의 코사인 값을 곱한 것을 모두 더하여 구합니다.
    * 전압 \(v(t)\)와 전류 \(i(t)\)는 다음과 같습니다:
        * \(v(t) = 100\sin\omega t - 50\sin(3\omega t+30^\circ) + 20\sin(5\omega t+45^\circ)\)
        * \(i(t) = 20\sin(\omega t+30^\circ) + 10\sin(3\omega t-30^\circ) + 5\cos5\omega t\)
    * **주의:** \(i(t)\)의 마지막 항은 코사인(\(\cos\))이므로 사인(\(\sin\))으로 변환해야 합니다.
        * \(5\cos5\omega t = 5\sin(5\omega t+90^\circ)\)
    * 이제 각 고조파 성분의 위상각을 비교합니다.
    * 기본파(\(\omega t\))
        * 전압: \(100\sin\omega t\) (\(0^\circ\))
        * 전류: \(20\sin(\omega t+30^\circ)\) (\(30^\circ\))
        * 위상차: \(\theta_1 = 30^\circ - 0^\circ = 30^\circ\)
        * 유효전력: \(P_1 = \frac{100}{\sqrt{2}} \times \frac{20}{\sqrt{2}} \times \cos30^\circ = 1000 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 866\text{W}\)
    * 제3고조파(\(3\omega t\))
        * 전압: \(-50\sin(3\omega t+30^\circ)\)
        * 전류: \(10\sin(3\omega t-30^\circ)\)
        * 전압을 \(\sin\) 함수로 변환: \(-50\sin(3\omega t+30^\circ) = 50\sin(3\omega t+30^\circ+180^\circ) = 50\sin(3\omega t+210^\circ)\)
        * 위상차: \(\theta_3 = 210^\circ - (-30^\circ) = 240^\circ\)
        * **또는** 위상차를 더 간단하게: \(\theta_3 = (-30^\circ) - (30^\circ) = -60^\circ\). 전압에 마이너스가 붙었으므로 \(\cos(-60^\circ)\)에 \(-1\)을 곱해야 합니다. \(P_3 = \frac{50}{\sqrt{2}} \times \frac{10}{\sqrt{2}} \times \cos(-60^\circ) \times (-1) = 250 \times \frac{1}{2} \times (-1) = -125\text{W}\)
    * 제5고조파(\(5\omega t\))
        * 전압: \(20\sin(5\omega t+45^\circ)\)
        * 전류: \(5\cos5\omega t = 5\sin(5\omega t+90^\circ)\)
        * 위상차: \(\theta_5 = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\)
        * 유효전력: \(P_5 = \frac{20}{\sqrt{2}} \times \frac{5}{\sqrt{2}} \times \cos45^\circ = 50 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 35.4\text{W}\)
    * **총 유효전력:**
        * \(P = P_1 + P_3 + P_5 = 866 - 125 + 35.4 = 776.4\text{W}\)

2.  **전압과 전류의 총 실효값(\(V_{rms}, I_{rms}\)) 계산**
    * 전압의 총 실효값: \(V_{rms} = \sqrt{(\frac{100}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{50}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{20}{\sqrt{2}})^2} = \sqrt{\frac{10000+2500+400}{2}} = \sqrt{\frac{12900}{2}} = \sqrt{6450}\approx 80.3\text{V}\)
    * 전류의 총 실효값: \(I_{rms} = \sqrt{(\frac{20}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{10}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{5}{\sqrt{2}})^2} = \sqrt{\frac{400+100+25}{2}} = \sqrt{\frac{525}{2}} = \sqrt{262.5}\approx 16.2\text{A}\)

3.  **피상전력(\(P_a\)) 및 역률(\(\cos\theta\)) 계산**
    * 피상전력 \(P_a = V_{rms} \times I_{rms} = 80.3 \times 16.2 \approx 1301\text{VA}\)
    * 역률 \(\cos\theta = \frac{P}{P_a} = \frac{776.4}{1301} \approx 0.5967\)
    * 백분율로 환산: \(0.5967 \times 100 \approx 59.7\%\)

따라서 유효전력은 약 **776.4W**이고 역률은 약 **59.7%**입니다.