주어진 함수 \( F(s) = \frac{2s^2+s-3}{s(s^2+4s+3)} \)의 라플라스 역변환을 구하기 위해 부분 분수 분해를 수행합니다.

먼저, 분모를 인수분해하면 \( s(s+1)(s+3) \)가 됩니다. 따라서 부분 분수 분해는 다음과 같습니다:

\[
\frac{2s^2+s-3}{s(s+1)(s+3)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+1} + \frac{C}{s+3}
\]

이를 통분하여 정리하면:

\[
2s^2+s-3 = A(s+1)(s+3) + Bs(s+3) + Cs(s+1)
\]

계수 비교를 통해 \( A, B, C \) 값을 구합니다.

1. 상수항 비교: \( 3A = -3 \)이므로 \( A = -1 \)
2. \( s \)의 계수 비교: \( 4A + B + C = 1 \)
3. \( s^2 \)의 계수 비교: \( A + 3B + C = 2 \)

이제 \( A = -1 \)을 대입하여 나머지 값을 구합니다.

- \( 4(-1) + B + C = 1 \) 이므로 \( B + C = 5 \)
- \(-1 + 3B + C = 2 \)이므로 \( 3B + C = 3 \)

두 방정식을 풀면:

1. \( C = 5 - B \)
2. \( 3B + (5 - B) = 3 \)에서 \( 2B + 5 = 3 \), 따라서 \( 2B = -2 \), \( B = -1 \)
3. \( C = 5 - (-1) = 6 \)

따라서 \( A = -1 \), \( B = -1 \), \( C = 6 \)입니다.

역변환을 구하면:

\[
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{-1}{s}\right\} = -1, \quad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{-1}{s+1}\right\} = -e^{-t}, \quad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{6}{s+3}\right\} = 6e^{-3t}
\]

따라서 전체 라플라스 역변환은:

\[
-1 - e^{-t} + 6e^{-3t} = -1 + e^{-t} + 2e^{-3t}
\]

이는 보기 4와 일치합니다.