주어진 제어 요소는 비례 감도 \( K = 3 \)과 적분 시간 \( T_i = 3 \, \text{sec} \)인 비례적분 제어기입니다. 입력 신호 \( x(t) = 2t \)일 때, 조작량 \( y(t) \)는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

비례적분 제어기의 조작량 \( y(t) \)는 다음과 같은 식으로 표현됩니다:
\[ y(t) = K \left( x(t) + \frac{1}{T_i} \int_0^t x(\tau) \, d\tau \right) \]

여기서 \( K = 3 \), \( T_i = 3 \), 그리고 \( x(t) = 2t \)이므로, 조작량 \( y(t) \)는 다음과 같습니다:
\[ y(t) = 3 \left( 2t + \frac{1}{3} \int_0^t 2\tau \, d\tau \right) \]

적분 부분을 계산해보면:
\[ \int_0^t 2\tau \, d\tau = \left[ \tau^2 \right]_0^t = t^2 \]

따라서 조작량은:
\[ y(t) = 3 \left( 2t + \frac{1}{3} t^2 \right) \]

\[ y(t) = 3 \left( 2t + \frac{1}{3} t^2 \right) = 6t + t^2 \]

주어진 보기 3의 표현과 일치하므로, 선택한 답이 맞습니다.