이 문제는 밸브 전후의 압력 손실을 이용하여 **등가길이(equivalent length)**를 계산하는 문제입니다.

#### 1. 압력 손실과 마찰 손실 수두의 관계
압력 손실($\Delta P$)은 마찰 손실 수두($h_L$)와 다음과 같은 관계가 있습니다.
\[ \Delta P = \rho g h_L \]
* $\rho$: 유체의 밀도. 비중 0.8이므로, $\rho = 0.8 \times 1000 = 800 \, \text{kg/m}^3$
* $g$: 중력 가속도, $9.8 \, \text{m/s}^2$
* $\Delta P$: 압력 차이, $4 \, \text{kPa} = 4000 \, \text{Pa}$

이 식을 이용하여 마찰 손실 수두 $h_L$를 계산합니다.
\[ h_L = \frac{\Delta P}{\rho g} = \frac{4000}{800 \times 9.8} = \frac{4000}{7840} \approx 0.51 \, \text{m} \]

#### 2. 등가길이 계산
마찰 손실 수두는 다음 식으로도 표현할 수 있습니다.
\[ h_L = f \frac{L_e}{D} \frac{V^2}{2g} \]
여기서 $L_e$가 밸브의 등가길이입니다.
* $f$: 마찰 계수 = 0.02
* $D$: 관의 지름 = 10 cm = 0.1 m
* $V$: 평균 속도 = 2 m/s

위 식을 등가길이 $L_e$에 대해 정리합니다.
\[ L_e = h_L \frac{D \cdot 2g}{f \cdot V^2} \]
계산한 $h_L$ 값과 주어진 값들을 대입합니다.
\[ L_e = 0.51 \frac{0.1 \times 2 \times 9.8}{0.02 \times 2^2} = 0.51 \frac{1.96}{0.08} = 0.51 \times 24.5 = 12.495 \, \text{m} \]
따라서 가장 가까운 값인 **12.5 m**가 정답입니다.