이 문제는 정수압에 의한 수직 평판에 작용하는 모멘트를 계산하는 문제입니다.

#### 1. 정수압의 힘 $F$
물속에 잠긴 수직 평판에 작용하는 정수압의 합력 $F$는 다음과 같습니다.
$F = \rho g h_c A$
여기서,
* $\rho$: 유체의 밀도
* $g$: 중력가속도
* $h_c$: 수면으로부터 평판의 도심까지의 깊이입니다. 평판의 높이가 $L$이므로, 도심은 수면에서 $L/2$ 지점에 있습니다.
* $A$: 평판의 면적. 단위 폭당 모멘트를 구하므로, 폭은 1로 가정합니다. 따라서 $A = L \times 1 = L$입니다.
$h_c = L/2$이므로,
$$F = \rho g (L/2) \times L = \frac{1}{2} \rho g L^2$$

#### 2. 정수압의 작용점 $h_p$
정수압은 깊이에 따라 선형적으로 증가하므로, 합력 $F$는 도심보다 약간 아래쪽에 작용합니다. 작용점의 깊이 $h_p$는 다음과 같습니다.
$$h_p = h_c + \frac{I_{xx}}{h_c A}$$
여기서,
* $I_{xx}$: 평판의 단면 2차 모멘트. 폭이 1인 사각형 단면에 대해 $I_{xx} = \frac{bh^3}{12}$이므로, $b=1, h=L$입니다.
$I_{xx} = \frac{1 \times L^3}{12} = \frac{L^3}{12}$
$h_c = L/2$, $A=L$이므로,
$$h_p = \frac{L}{2} + \frac{L^3/12}{(L/2) \times L} = \frac{L}{2} + \frac{L^3/12}{L^2/2} = \frac{L}{2} + \frac{2L}{12} = \frac{L}{2} + \frac{L}{6} = \frac{3L+L}{6} = \frac{4L}{6} = \frac{2}{3}L$$
힌지점은 수면에서 $L$만큼 아래에 있으므로, 힌지점에서 정수압의 작용점까지의 거리는 $L - h_p$입니다.

#### 3. 힌지에 작용하는 모멘트 $M$
모멘트 $M$은 힘 $F$와 힌지점으로부터의 거리의 곱입니다.
힌지점은 수면에서 $L$만큼 아래에 있으므로, 힌지점으로부터 힘의 작용점까지의 거리는
$$L - h_p = L - \frac{2}{3}L = \frac{1}{3}L$$따라서 모멘트 $M$은$$M = F \times (L-h_p) = \left( \frac{1}{2} \rho g L^2 \right) \times \left( \frac{1}{3}L \right) = \frac{1}{6} \rho g L^3$$
따라서 정답은 **1번**입니다.