이 문제는 수문에 작용하는 유체 정역학적 힘과 모멘트 평형을 이용하여 문을 여는 데 필요한 최소한의 힘을 구하는 문제입니다.

수문에 작용하는 힘은 수압에 의한 힘입니다. 수문은 A점에 힌지(hinge)로 고정되어 있으므로, 힌지를 기준으로 **모멘트 평형**을 이용해 문제를 해결할 수 있습니다. 수문을 열기 위한 최소한의 힘은 유체에 의한 모멘트와 힘 F에 의한 모멘트가 평형을 이루는 순간의 힘입니다.

#### 1. 수압에 의한 힘 $P$ 계산
수압에 의한 힘은 수문 표면에 수직으로 작용하며, 그 크기는 다음과 같습니다.
\(P = \rho g h_c A\)
여기서,
* $\rho$: 유체(물)의 밀도, $1000 \, \text{kg/m}^3$ (유체의 비중이 1이므로)
* $g$: 중력 가속도, $9.8 \, \text{m/s}^2$
* $h_c$: 수문 중심까지의 수직 깊이. 수문 길이가 3m이고 30° 기울어져 있으므로 수문 중심(A점에서 1.5m)까지의 수직 깊이는 \(h_c = 1.5 \times \sin(30^\circ) = 1.5 \times 0.5 = 0.75 \, \text{m}\)
* $A$: 수문의 면적, $3 \, \text{m} \times 0.5 \, \text{m} = 1.5 \, \text{m}^2$

값들을 대입하면,
\(P = 1000 \times 9.8 \times 0.75 \times 1.5 = 11025 \, \text{N}\)

#### 2. 수압에 의한 힘의 작용점 $y_p$ 계산
수압에 의한 힘은 수문 중심보다 약간 아래쪽에 작용합니다. 작용점의 깊이는 다음과 같습니다.
\(y_p = y_c + \frac{I_{xx}}{y_c A}\)
여기서,
* $y_c$: 수문 중심까지의 경사 거리, $1.5 \, \text{m}$
* $I_{xx}$: 수문의 단면 2차 모멘트. 사각형 단면에 대해 \(I_{xx} = \frac{bh^3}{12}\)이므로, \(b=0.5 \, \text{m}\), \(h=3 \, \text{m}\)
\(I_{xx} = \frac{0.5 \times 3^3}{12} = \frac{0.5 \times 27}{12} = 1.125 \, \text{m}^4\)
* $A$: 수문의 면적, $1.5 \, \text{m}^2$

값들을 대입하면,
\(y_p = 1.5 + \frac{1.125}{1.5 \times 1.5} = 1.5 + 0.5 = 2.0 \, \text{m}\)
이는 A점으로부터 2.0m 떨어진 지점입니다.

#### 3. 모멘트 평형식
A점을 기준으로 모멘트 평형식을 세웁니다.
힘 F에 의한 모멘트(반시계방향) = 수압에 의한 힘 P에 의한 모멘트(시계방향)
\(F \times L = P \times y_p\)
여기서,
* $L$: 힘 F의 작용점(B점)까지의 거리, $3 \, \text{m}$
* $y_p$: 수압에 의한 힘 P의 작용점까지의 거리, $2.0 \, \text{m}$

\(F \times 3 = 11025 \times 2.0\)
\(3F = 22050\)
\(F = \frac{22050}{3} = 7350 \, \text{N}\)

이 값을 kN으로 환산하면,
\(F = 7.35 \, \text{kN}\)

따라서 정답은 2번입니다.