이 문제는 수평 원관의 **층류유동**에서 원유를 수송하는 데 필요한 펌프 동력을 계산하는 문제입니다. 펌프 동력(W)은 **마찰 손실수두($h_f$)**를 구한 후, 다음 공식을 이용해 계산할 수 있습니다.

$$P = \gamma Q h_f$$

* \(P\): 펌프 동력 (W)
* \(\gamma\): 원유의 비중량 (\(\text{N/m}^3\))
* \(Q\): 유량 (\(\text{m}^3/\text{s}\))
* \(h_f\): 마찰 손실수두 (m)

#### 1. 유량($Q$)과 유속($v$) 계산

* **유량(Q):** 0.10 ㎥/min = \( \frac{0.10}{60} = 0.00167 \text{ m}^3/\text{s} \)
* **관의 단면적(A):** 안지름 10 cm = 0.1 m 이므로, \( A = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{0.1}{2}\right)^2 = 0.0025\pi \approx 0.00785 \text{ m}^2 \)
* **유속(v):** \( v = \frac{Q}{A} = \frac{0.00167}{0.00785} \approx 0.2127 \text{ m/s} \)

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#### 2. 마찰 손실수두($h_f$) 계산

층류 유동이므로 **Hagen-Poiseuille(하겐-푸아죄유) 법칙**을 사용하여 마찰 손실수두를 계산합니다.
$$h_f = \frac{32\mu Lv}{\gamma D^2}$$

* \(\mu\): 원유의 점성계수 = 0.02 N·s/㎡
* \(L\): 관의 길이 = 4 km = 4000 m
* \(v\): 유속 = 0.2127 m/s
* \(\gamma\): 원유의 비중량 = 비중 \(\times\) 물의 비중량 = \(0.86 \times 9800 = 8428 \text{ N/m}^3\)
* \(D\): 관의 안지름 = 0.1 m

위 값들을 대입하여 계산합니다.
$$h_f = \frac{32 \times 0.02 \times 4000 \times 0.2127}{8428 \times (0.1)^2} = \frac{544.512}{84.28} \approx 6.46 \text{ m}$$

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#### 3. 펌프 동력(P) 계산

마찰 손실수두를 이용하여 펌프 동력을 계산합니다.

$$P = \gamma Q h_f = 8428 \times 0.00167 \times 6.46 \approx 90.9 \text{ W}$$

따라서 펌프에 필요한 동력은 약 **91 W**입니다.