정답: 1번

유체 내에서 쇠구슬의 낙하속도(종단 속도)는 스토크스의 법칙에 따라 다음과 같이 표현됩니다.
\(U = \frac{2 r^2 g (\rho_s - \rho_f)}{9 \mu}\)
여기서 \(U\)는 종단 속도, \(r\)은 쇠구슬의 반지름, \(g\)는 중력 가속도, \(\rho_s\)는 쇠구슬의 밀도, \(\rho_f\)는 유체의 밀도, \(\mu\)는 유체의 점도입니다. (쇠구슬은 동일하므로 \(r\)과 \(\rho_s\)는 두 경우 모두 동일합니다.)

주어진 두 유체에 대해 각각의 낙하속도 식을 세우면 다음과 같습니다.
유체 1: \(U_1 = \frac{2 r^2 g (\rho_s - \rho_1)}{9 \mu_1}\)
유체 2: \(U_2 = \frac{2 r^2 g (\rho_s - \rho_2)}{9 \mu_2}\)

문제에서 \(U_2 = \frac{1}{2} U_1\) 이라는 조건이 주어졌으므로, 위 식들을 대입하면 다음과 같습니다.
\(\frac{2 r^2 g (\rho_s - \rho_2)}{9 \mu_2} = \frac{1}{2} \left( \frac{2 r^2 g (\rho_s - \rho_1)}{9 \mu_1} \right)\)

양변에서 공통 항 \(\frac{2 r^2 g}{9}\)을 소거하면:
\(\frac{\rho_s - \rho_2}{\mu_2} = \frac{1}{2} \frac{\rho_s - \rho_1}{\mu_1}\)

점도 비율 \(\frac{\mu_2}{\mu_1}\)에 대해 정리하면:
\(\frac{\mu_2}{\mu_1} = 2 \frac{\rho_s - \rho_2}{\rho_s - \rho_1}\)

주어진 정답이 보기 1 (\(\mu_2/\mu_1 < 2\))이므로, 이 조건을 만족하려면 다음이 성립해야 합니다.
\(2 \frac{\rho_s - \rho_2}{\rho_s - \rho_1} < 2\)
\(\frac{\rho_s - \rho_2}{\rho_s - \rho_1} < 1\)

쇠구슬이 유체 내에서 낙하하므로 쇠구슬의 밀도가 유체의 밀도보다 커야 합니다 (\(\rho_s > \rho_1\) 이고 \(\rho_s > \rho_2\)). 따라서 \(\rho_s - \rho_1\)과 \(\rho_s - \rho_2\)는 모두 양수입니다.
그러므로 부등식의 방향을 유지하며 \(\rho_s - \rho_1\)을 양변에 곱할 수 있습니다:
\(\rho_s - \rho_2 < \rho_s - \rho_1\)
\(-\rho_2 < -\rho_1\)
\(\rho_2 > \rho_1\)

따라서 문제의 조건과 정답이 일치하려면 두 번째 유체의 밀도(\(\rho_2\))가 첫 번째 유체의 밀도(\(\rho_1\))보다 커야 합니다. 이 조건이 충족되면 \(\frac{\mu_2}{\mu_1} < 2\)가 됩니다.