유체역학의 베르누이 방정식과 연속 방정식을 이용하여, 물이 수조 바닥의 구멍을 통해 흘러나갈 때 수축되는 물줄기(분류)의 반경을 구하는 문제입니다.

1. 문제에 주어진 정보 및 상황 설정
수조: 수위가 H로 일정하게 유지되는 큰 수조.

구멍: 수조 바닥에 지름이 D인 구멍.

분류: 물이 구멍을 통해 흘러나올 때, 바닥 아래 y 지점에서 물줄기의 반경(r)을 구해야 합니다.

가정: 손실과 표면장력의 영향은 무시합니다. (이상 유체 가정)

2. 풀이 과정
이 문제는 두 가지 중요한 원리를 적용해야 합니다.

연속 방정식 (Conservation of Mass): 유량이 일정하다는 원리입니다.

베르누이 방정식 (Conservation of Energy): 수조 내의 한 지점과 바닥 아래의 한 지점에서의 에너지 합이 같다는 원리입니다.

단계 1: 베르누이 방정식 적용

두 지점을 설정하여 베르누이 방정식을 적용합니다.

지점 1: 수조의 수면. 이 지점의 압력은 대기압(Pa)이고, 유속은 수조가 크므로 0에 가깝습니다 (\(v_1\) ≈ 0). 기준면을 수조 바닥으로 잡으면, 지점 1의 높이는 \(z_1\) = H입니다.

지점 2: 바닥 아래 y 지점의 물줄기. 이 지점의 압력은 대기압(Pa)이고, 높이는 \(z_2\) = −y입니다. 유속을 (\(v_2\) 라고 합시다.

베르누이 방정식:
\(\frac{P}{ρg} + \frac{v^2}{2g} + z = 일정\)

지점 1과 2에 적용하면:
\(\frac{P_1}{ρg} + \frac{(v_{1})^2}{2g} + z_1 = \frac{P_2}{ρg} + \frac{(v_{2})^2}{2g} + z_2\)
\(P_1 = P_2 = P_3\) 이므로 압력항은 소거됩니다.
\(v_1\) ≈0 이므로 속도항은 무시할 수 있습니다.

0+H= \(\frac{(v_{2})^2}{2g} − y\)
\(\frac{(v_{2})^2}{2g}\) = H+y
\((v_{2})^2\) =2g(H+y)
\(v_2 = \sqrt{2g(H+y)}\)

단계 2: 연속 방정식 적용

연속 방정식은 유량이 일정하다는 것을 의미합니다.
유량 Q=Av (단면적 × 유속)

두 지점을 설정합니다.

지점 A: 수조 바닥의 구멍. 단면적은 \(A_A = \frac{\pi D^2}{4}\)입니다.

지점 B: 바닥 아래 y 지점의 물줄기. 단면적은 \(A_B = πr^2\) 입니다.

토리첼리(Torricelli)의 정리에 따라 토출구(바닥 구멍)에서의 유속은 \(v_A = \sqrt{2gH}\)입니다.

연속 방정식: \(Q = A_A v_A = A_B v_B\)
\(\frac{πD^2}{4} \sqrt{2gH} = (πr^2) v_2\)
 
위에서 구한 \(v_2 = \sqrt{2g(H+y)}\)를 대입합니다.
\(\frac{πD^2}{4} \sqrt{2gH} = (πr^2) \sqrt{2g(H+y)}\)​
 
양변에서 π와 \(\sqrt{2g}\)를 소거합니다.
\(\frac{D^2}{4} \sqrt{H} = (r^2) \sqrt{(H+y)}\)​
 
이제 우리가 구하고자 하는 r에 대해 식을 정리합니다.
\(r^2 = \frac{D^2 \sqrt{H}} {4 \sqrt{(H+y)}}\)​

\(r^2 = \frac{D^2}{4} (\frac{H}{H+y})^(1/2)\)​
 
양변에 제곱근을 취하여 r을 구합니다.
\(r = \sqrt{\frac{D^2}{4} (\frac{H}{H + y})^(1/2)}\)
\(r = \frac{D}{2} ((\frac{H}{H+y})^(1/2))^(1/2)\)
\(r = \frac{D}{2} (\frac{H}{H+y})^(1/4)\)


따라서 정답은 ③번입니다.