U자관 내에서 서로 다른 세 가지 액체가 평형을 이루고 있을 때, 압력 평형을 이용하여 가운데 액체(\(S_2\))의 비중을 구하는 문제입니다.

1. 문제에 주어진 정보 정리
액체 1 (\(S_1\)): 비중 S = 1, 높이 \(h_1\) = 20cm
액체 2 (\(S_2\)): 비중 S = ?, 높이 \(h_2\) = 10cm
액체 3 (\(S_3\)): 비중 S = 2, 높이 \(h_3\) = 30cm

구하고자 하는 값: \(S_2\)의 비중

2. 압력 평형 원리 적용
U자관에서 액체가 정지해 있을 때, 동일한 수평면에서의 압력은 같습니다. 그림에서 S1과 S2의 경계면과 S2와 S3의 경계면을 잇는 수평선을 기준으로 압력 평형 방정식을 세울 수 있습니다.

가운데 액체 \(S_2\) 의 최저점을 기준으로 왼쪽과 오른쪽의 압력이 같다고 두는 것이 가장 일반적인 방법입니다.
하지만 그림에서 A-A'를 기준으로 압력을 비교하면 더 쉽게 해결할 수 있습니다.
A-A' 수평면을 기준으로 왼쪽의 압력(\(P_L\))과 오른쪽의 압력(\(P_R\))은 같습니다.

왼쪽의 압력(\(P_L\)):
\(P_L\) =(액체 \(S_1\) 의 압력)+(액체 \(S_2\) 의 압력)
\(P_L = (ρ_1 g h_1) + (ρ_2 g h_2)\)
여기서 밀도(ρ)는 비중(S)에 물의 밀도(\(ρ_w\))를 곱한 값입니다. (ρ=S \(ρ_w\))
\(P_L = (ρ_{1ρw} h_1) + (ρ_{2gw} g h_2)\)

오른쪽의 압력(\(P_R\)):
\(P_R =(액체 S_3 의 압력)\)
\(P_R = ρ_3 g h_3 = S_{3}ρwg h_3\)

3. 방정식 세우고 풀기
\(P_L = P_R\) 이므로,
\((S_{1}ρwg h_1) + (S_{2}ρwg h_2) = S_{3}ρwg h_3\)

양변에서 공통항인 ρwg를 소거합니다.
\((S_{1} h_1) + (S_{2} h_2) = S_{3} h_3\)

이제 주어진 값들을 대입합니다.
\(S_1 = 1\)
\(S_3 = 2\)
\(h_1 = 20cm\)
\(h_2 = 10cm\)
\(h_3 = 30cm\)

\((1×20)+(S_2 ×10)=(2×30)\)
\(20+10S_2 =60\)
\(10S_2 =60−20 = 40\)

\(S_2 = \frac{40}{10} = 4\)

따라서 가운데 액체(\(S_2\))의 비중은 4입니다. 정답은 3번입니다.