운동량 방정식(momentum equation)을 사용하여 유체가 고정된 판에 충돌할 때 발생하는 힘을 구하는 문제입니다.

문제 해설
1. 문제 상황 분석
입력: 질량유량(\(\dot{m})\)을 가진 유체가 속도 V로 판에 충돌합니다.

충돌 판: 경사각 β를 이루는 고정된 판입니다.

출력: 유체가 판에 충돌한 후, 마찰이 없다고 가정하면 속도의 크기는 변하지 않고 방향만 변하여 V의 속도로 판을 떠납니다.

구하고자 하는 것: 유체가 판에 충돌하면서 판에 가하는 힘(F)의 크기입니다. 이는 곧 판이 유체에 가하는 힘(\(F_{fluid}\)의 반작용입니다.

2. 운동량 방정식 적용
유체가 판에 가하는 힘은 유체의 운동량 변화율과 같습니다. 힘은 벡터이므로, x축과 y축 성분으로 나누어 계산합니다.
F= \(\dot{m}\) (Vout −Vin)

여기서 Vin은 유체가 들어올 때의 속도 벡터, Vout은 유체가 나갈 때의 속도 벡터입니다.

입구 속도(Vin):
그림에서 유체는 x축 방향으로 들어오고 있습니다.
Vin = (V,0)

출구 속도(Vout):
유체는 판의 경사면을 따라 나갑니다. 판의 경사각이 β이므로, 유체가 나가는 방향은 x축과 β의 각도를 이룹니다.
Vout의 x축 성분: Vcosβ

Vout의 y축 성분: Vsinβ

Vout =(Vcosβ,Vsinβ)

3. x축 방향 힘(Fx) 계산
Fx = \(\dot{m}\) (Vout,x −Vin,x)
Fx = \(\dot{m}\) (Vcosβ−V)
Fx = \(\dot{m}\) V(cosβ−1)

4. y축 방향 힘(Fy) 계산
Fy = \(\dot{m}\) (Vout,y −Vin,y)
Fy = \(\dot{m}\) (Vsinβ−0)
Fy = \(\dot{m}\) Vsinβ

5. 전체 힘(F)의 크기 계산
판이 유체에 가하는 힘(\(F_{fluid}\))의 크기는 x축과 y축 성분의 제곱의 합의 제곱근입니다.
\(∣ F_{fluid} ∣= \sqrt{(F_x)^2 + (F_y)^2} \)
\(∣ F_{fluid} ∣= \sqrt{(\dot{m}V(cosβ−1) )^2 + (\dot{m}V(sinβ−1))^2} \)
\(∣ F_{fluid} ∣= \dot{m}V \sqrt{(cosβ−1)^2 + (sinβ)^2} \) 

괄호 안의 식을 전개합니다.
\((cosβ−1)^2 + (sinβ)^2 = ((cosβ)^2 - 2cosβ + 1) +  (sinβ)^2\)

삼각함수 공식\(((sinβ)^2 + (cosβ)^2 = 1)\)을 이용하면,
= \(((sinβ)^2 + (cosβ)^2) - 2cosβ + 1\)
= 1 − 2cosβ + 1
= 2 − 2cosβ
= 2(1−cosβ)

따라서 전체 힘의 크기는 다음과 같습니다.
\(∣F_{fluid} ∣= \dot{m}V \sqrt{2(1 - cosβ)}\)
이 힘은 판이 유체에 가하는 힘입니다. 문제에서 요구하는 것은 "판이 받는 힘의 크기"이므로, 이는 위에서 구한 힘의 반작용력입니다. 크기는 같고 방향은 반대이므로, 크기는 동일합니다.
\(F_{판} = ∣ F_{fluid} | = \dot{m}V \sqrt{2(1 - cosβ)}\)
​
따라서 정답은 ④번입니다.