문제는 두 개의 정현파 교류전압 \(e_1(t)\)와 \(e_2(t)\)의 합 \((e_1(t) + e_2(t))\)을 구하는 문제입니다. 이 문제는 페이저(Phasor)를 이용하여 푸는 것이 가장 간단합니다.

**1. 페이저로 변환**:
* **\(e_1(t) = 10\sqrt{2} \sin\left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)\)**
    * 최댓값은 \(10\sqrt{2}\)이고, 실효값은 \(10V\)입니다.
    * 위상은 \(\frac{\pi}{3}\)입니다.
    * 페이저로 변환하면 \(E_1 = 10\angle\frac{\pi}{3}\) 입니다.
    * 직교좌표계로 변환: \(E_1 = 10 \left(\cos\frac{\pi}{3} + j\sin\frac{\pi}{3}\right) = 10\left(\frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 5+j5\sqrt{3}\)

* **\(e_2(t) = 20\sqrt{2} \cos\left(\omega t - \frac{\pi}{6}\right)\)**
    * 최댓값은 \(20\sqrt{2}\)이고, 실효값은 \(20V\)입니다.
    * **코사인 함수를 사인 함수로 변환**해야 합니다. \(\cos\theta = \sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)\)
    * \(e_2(t) = 20\sqrt{2} \sin\left(\omega t - \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}\right) = 20\sqrt{2} \sin\left(\omega t + \frac{2\pi}{6}\right) = 20\sqrt{2} \sin\left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)\)
    * 실효값은 \(20V\)이고, 위상은 \(\frac{\pi}{3}\)입니다.
    * 페이저로 변환하면 \(E_2 = 20\angle\frac{\pi}{3}\) 입니다.
    * 직교좌표계로 변환: \(E_2 = 20 \left(\cos\frac{\pi}{3} + j\sin\frac{\pi}{3}\right) = 20\left(\frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 10+j10\sqrt{3}\)

**2. 페이저의 합**:
* \(E_{합} = E_1 + E_2\)
* \(E_{합} = (5+j5\sqrt{3}) + (10+j10\sqrt{3}) = 15+j15\sqrt{3}\)

**3. 다시 극좌표계로 변환**:
* 합성된 페이저의 크기:
    * \(|E_{합}| = \sqrt{15^2 + (15\sqrt{3})^2} = \sqrt{225 + 225 \cdot 3} = \sqrt{225 + 675} = \sqrt{900} = 30V\)
* 위상:
    * \(\theta = \arctan\left(\frac{15\sqrt{3}}{15}\right) = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}\)

**4. 시간 함수로 변환**:
* 실효값이 30V이고 위상이 \(\frac{\pi}{3}\)이므로, 최댓값은 \(30\sqrt{2}\)입니다.
* 최종적인 시간 함수는 다음과 같습니다.
    * \(e_{합}(t) = 30\sqrt{2} \sin\left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right) (V)\)

따라서 정답은 **①번**입니다.